前言

最近在讀線性代數，讀到 subspace 時產生了一些疑惑：「為什麼在定義 subspace 時，我們需要「零向量必須包含於其中」這項定義」，問 chatGPT 也被打迷糊仗（說是因為零向量很特別⋯）

某天在晚上快睡著時突然想通，便記下來，希望能給有一樣疑惑的人參考。如果有其他想法或指正，也歡迎與我聯絡討論。

困惑點

Subspace 需要滿足三個條件：

• 零向量包含於其中
• 加法封閉性
• 係數積封閉性

我的疑惑是：既然有了「係數積封閉性」，只要把係數 c 設為 0，不就能得到零向量了嗎？這樣「係數積封閉性」不是已經包含了「零向量必須包含於其中」？

關鍵角色：空集合

我們希望 {0} 是一個 subspace，但 {} (空集合) 不能是。 如果缺少「零向量必須包含於其中」這項定義，我們就無法排除空集合成為 subspace。

因為：

• 空集合滿足加法封閉性（沒有元素可以相加）
• 空集合滿足係數積封閉性（沒有向量可以做係數積）
• 但空集合不包含零向量

結語

這項定義確保了 subspace 的完整性。

我們可以這樣理解：我們要求一個集合至少要有零向量才能被考慮為 subspace，然後再檢查其他封閉性質。

另一種說法是「包含零向量的最小集合也符合 subspace 定義」，但這樣表達就沒有直接說「零向量必須包含於其中」來得簡潔直觀了。

有其他想法或指正，歡迎與我聯絡討論。